Nombre dérivé

Définition

Le coefficient directeur de la tangente est appelé le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) . Ce nombre est noté `f'(a).`

Vocabulaire   On dit que `f` est dérivable en \(a\) .

Exemple

Par lecture graphique, la tangente  \(\mathcal{T}\) à `\mathcal{C}_f` en \(\text{A}(1~;-1)\) a un coefficient directeur égal à –3.

Donc  \(f'(1)=-3\) .

Remarques

• Le nombre dérivé peut s'obtenir par une lecture graphique, à partir de la courbe. Il est également possible d'utiliser la calculatrice ou un logiciel de calcul formel (voir la fiche méthode « Déterminer un nombre dérivé avec une NumWorks »).
  
•  Il existe des fonctions qui ne sont pas dérivables, mais ce sont des cas particuliers.
  
• En physique, le nombre dérivé  `f'(a)` est souvent noté : \(\dfrac{\text{d}f(a)}{\text{d}x}\) .
  

Cas particulier important

Si la tangente est horizontale au point d'abscisse `a` , son coefficient directeur est nul, donc   `f'(a)=0.` Réciproquement, si  \(f'(a)=0\) , la courbe admet au point d'abscisse  \(a\) une tangente horizontale.

À retenir   Tangente horizontale <----------> Nombre dérivé nul

Proposition   Équation cartésienne de la tangente

La tangente à  `\mathcal{C}_f` au point \(\text{A}(a~;f(a))\) a pour équation : \(y=f'(a)(x-a)+f(a).\)

Exemple

On considère la courbe  `\mathcal{C}_f` d'équation `y=5x^2+x+1` .  On cherche à déterminer l'équation de la tangente à  `\mathcal{C}_f`   au point d'abscisse 1 :

•   Cette courbe représente la fonction `f:x\mapsto 5x^2+x+1.`
  
•   Un logiciel de calcul formel donne `f'(1)=11.`
  
• ``   \(f(1)= 5\times 1^2+1+1=7\)
  

La tangente à `\mathcal{C}_f` au point d'abscisse 1 a donc pour équation : \(y=7+11(x-1)\)  soit \(y=11x-4.\)